就是模形式。
三位答完。
教室里头反而更安静了。
按理说，这三个答案已经把这道题“三个最常用的方向“都答全了。
解析数论一个，几何一个，模形式一个。
还能怎麽答？
李东在台上看了看下面。
他嘴角微微地翘了一下。
“三个答案，都对。”
“但是都不彻底。”
“第一位学长的答案告诉你哪些n有解、哪些n没解。”
“第二位同学的答案告诉你解的总数大概是nN。”
“最後这一位同学的答案告诉你，这东西最後能落到一个生成函数上头去。”
“可是有一件事，他们三个人都没答。”
他停顿了一下。
“对一个具体的n，它到底有几组解？”
“精确的几组。”
“解数到底是怎麽决定的？”
“既不是素因子分解的'有/无'。”
“也不是面积估算的'大概'。”
“当然更不是02这一个对象的笼统描述。”
“是一个精确到每一个n的闭形式的公式。”
台下所有人此时都安静的听着。
他们这才意识到。
他们刚才答的三条路，都没碰到这个核心。
有一种“我刚才答得很对，但是好像和你问的不是一回事“的尴尬感。
李东转过身，在黑板上写了一行字。
[r=(n)=4 · (d1(n)-ds(n))]
然後他在下面一行接着写。
[d:(n)=#{ d | n, d= 1 (mod 4)}】
【ds(n)=#{d|n,d=3(mod4)}】
他放下粉笔，转过身。
“这是雅可比1828年给出的一个精确公式。”
“对每一个n，它有几组解，看它的因子里头模4余1的有几个、模4余3的有几个，做一个差，再乘以4。“完事。”
台下“嘶”地一声。
有几个研究生忍不住低声嘀咕了。
“这……这是怎麽写出来的？”
“这两件事怎麽扯上的？”
李东笑了一下。
他抬起手，在黑板上写了一组新的符号。
【Z[={ a + bi : a, bEZ}]
“高斯整数。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整数。”
“在这一个新的数系里头，你做一件事。”
“你把一个整数n，展开成它在Z[里的素因子分解。”
他在黑板上画了一个分支。
“在普通的整数里，5是素数。”
“可是在Z[里，5 =(2 + i)(2- i）。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[里，它还是素数，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“为什麽有的素数分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已经发亮了，然後大声说道。
“模4余1的分裂。”
“模4余3的不分裂。”
李东点了点头。
“所以rz(n）其实问的是什麽？”
“问的是把n在Z[里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”
“这是高斯整数里头的'除数函数'。”
“换一个数系，这个问题
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